具有单势阱势的非局部 Cahn-Hilliard 方程的严格分离性与数值逼近

本文研究了一类具有奇异单势阱势和退化迁移率的非局部 Cahn-Hilliard 方程。该方程源于一个更一般模型的特例，该模型描述了一个由肿瘤相和健康相组成的二元、饱和、封闭且不可压缩混合物在有界域中的演化。一般系统将平均流速场的 Darcy 型演化、营养物浓度的对流反应扩散型演化以及肿瘤相的非局部对流 Cahn-Hilliard 方程耦合在一起。主要的数学困难与证明 Cahn-Hilliard 方程中肿瘤相的分离性质有关：据我们所知，该问题在文献中确属开放问题。因此，本文我们将分析研究限制于 Cahn-Hilliard 方程本身。对于具有奇异单势阱势和退化迁移率的非局部 Cahn-Hilliard 方程，我们研究了空间维数 $d\leq 3$ 时弱解的存在性与唯一性。在证明存在性之后，我们在三维空间中证明了严格分离性质，这也意味着较低空间维数下的同样性质，从而为解的唯一性证明开辟了道路。最后，我们提出了该模型在 $d\leq 3$ 时的一个适定且梯度稳定的连续有限元逼近，它保持了连续解的物理性质且计算高效，并给出了二维空间中的仿真结果，证明了所提格式的一致性并刻画了系统相关的相序动力学。