无限维Banach空间中近似几何分位数的统计性质

几何分位数是将经典单变量分位数推广到赋范空间（可能无限维）的位置参数，并包含几何中位数作为特例。无限维设定在函数数据的建模与分析以及核方法中高度相关。我们首先给出关于几何分位数存在性与唯一性的新结果。随后用近似 M-估计量进行估计，并研究其在无限维中的大样本性质。当总体分位数未唯一定义时，我们利用变分收敛理论获得弱拓扑中子序列的渐近结论。当存在唯一总体分位数时，我们在极弱假设下证明该估计量在范数拓扑中对包括每个可分离一致凸空间在内的广泛 Banach 空间是一致的。在可分离 Hilbert 空间中，我们建立估计量的弱 Bahadur-Kiefer 表示，并由此得到 $\sqrt n$ 渐近正态性。作为结果，我们获得了在一般 Hilbert 空间中成立、且在极弱假设下（与有限维情形完全匹配）的首个中心极限定理。即便对 Hilbert 空间中的精确几何中位数，我们的一致性与渐近正态性结果也显著改进了现有最优水平。