平面上临界及超临界情形下的平稳随机 Navier-Stokes 方程

在本文中，我们研究 $\mathbb{R}^2$ 上的分数阶不可压缩随机 Navier-Stokes 方程，其形式定义为 $$\partial_t v = -\tfrac12 (-\Delta)^\theta v - \lambda v \cdot \nabla v + \nabla p - \nabla^{\perp} (-\Delta)^{\frac{\theta-1}{2}} \xi, \qquad \nabla \cdot v = 0 \, ,$$ 其中 $\theta\in(0,1]$，$\xi$ 是 $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^2$ 上的时空白噪声，$\lambda$ 是耦合常数。对于任意 $\theta$ 值，由于噪声的奇异性，前述方程都是不适定的；且在 $\theta=1$ 时为临界，在 $\theta\in(0,1)$ 时为超临界。对于 $\theta=1$，我们证明该方程的弱耦合 regime（即在尺度 $N$ 正则化且耦合常数 $\lambda=\hat\lambda/\sqrt{\log N}$）是有意义的：正则化解序列 $\{v^N\}_N$ 是紧的，且非线性项在 $N\to\infty$ 时并不消失。相反，对于 $\theta\in(0,1)$，我们表明 $v$ 的大尺度行为是平凡的，因为非线性项消失，且 $v$ 简单地收敛于原方程在 $\lambda=0$ 时的解。