分数阶三维 Navier-Stokes 方程中的相变

周期域 $[0,\,L]^{3}$ 上的分数阶 Navier-Stokes 方程与常规方程的不同之处在于,将 $-\nu\Delta\mathbf{u}$ 拉普拉斯项替换为 $\nu_{s}A^{s}\mathbf{u}$,其中 $A= - \Delta$ 为 Stokes 算子,$\nu_{s} = \nu L^{2(s-1)}$ 为粘性参数。已识别出指数 $s\geq 0$ 的四个临界值,在这些值处分数阶 Navier-Stokes 方程解的函数性质发生改变。这些值为:$s=\frac{1}{3}$;$s=\frac{3}{4}$;$s=\frac{5}{6}$ 以及 $s=\frac{5}{4}$。具体而言:i) 对于 $s > \frac{1}{3}$,我们证明了 Prodi-Serrin 正则性准则的一个类比;ii) 对于 $s \geq \frac{3}{4}$,我们找到了局部能量平衡方程;iii) 对于 $s > \frac{5}{6}$,我们发现了弱解时间平均的无穷层级。我们在 $s > \frac{1}{3}$ 时对 Prodi-Serrin 准则类比的存在性,暗示了利用凸积分构造在 $0 < s < \frac{1}{3}$ 范围内具有正则时段的有理连续解这一构造的尖锐性。