时间可逆 Navier-Stokes 方程中的相变

我们对三维时间可逆 Navier-Stokes（RNS）系统的统计特征进行了全面研究，其中标准粘性 $\nu$ 被一个波动恒温器取代，该恒温器动态补偿总能量的波动。我们借助一个非负无量纲控制参数 $\mathcal{R}_r$ 分析 RNS 稳态的统计特征，该参数量化了在强迫长度尺度 $\ell_{\rm f}$ 处动能涨落与总能量 $E_0$ 之间的平衡。我们发现，系统在小的 $\mathcal{R}_r$ 处表现出高涡量的相，其中截断效应倾向于产生部分热化态；而在大的 $\mathcal{R}_r$ 处转变为低涡量的流体动力学相。利用湍流扩散模型（Leith 模型）的见解，我们认为该相变实际上类似于连续相变，其中 $\mathcal{R}_r$ 确实表现为热力学控制参数（例如温度），涡量起到序参数的作用，而对称破缺参数 $h$ 为截断尺度 $k_{\rm max}$ 的倒数。我们发现，靠近临界点 $\mathcal{R}_r^\star$ 的相变特征基本上可由启发式平均场 Landau 自由能推导出来。这一观点使我们能够重新解释 Gallavotti（Phys.Lett.A, 223, 1996）所猜想的动力学系综等价性可能成立的相应渐近行为。我们的数值表明，三维 RNS 的低阶统计确实与标准 Navier-Stokes（NS）方程的直接数值模拟中观察到的统计在定性上相似，其中粘性选择为使得可逆粘性的平均值相匹配。