射影空间上的平稳概率测度 2：临界情形

在先前的一篇文章中，给定有限维实向量空间 $V$ 以及 $\operatorname{PGL}(V)$ 上具一阶矩的概率测度 $\mu$，我们在非临界（或 Lyapunov 主导）情形下给出了射影空间 $\operatorname{P}(V)$ 上所有 $\mu$-平稳概率测度的刻画。在本文中，我们通过对更微妙的临界情形给出完整刻画来完成该分析。我们的结果展示了此情形下的代数刚性。将我们的结果与 Furstenberg--Kifer（'83）、Guivarch--Raugi（'07）及 Benoist--Quint（'14）的结果相结合，我们推导出了在无非代数假设下，关于具一阶矩的独立同分布随机矩阵乘积在射影空间上所有平稳概率测度的分类。