圆盘内亥姆霍兹解的倏逝平面波稳定逼近
数值分析
2023-12-21 v3 数值分析
摘要
平面波的叠加已知能很好地逼近亥姆霍兹方程的解。它们在离散化中的使用是亥姆霍兹问题Trefftz方法的典型特征，旨在以少量自由度实现高精度。然而，Trefftz方法导致病态线性系统，且往往在浮点算术中无法获得所需精度。本文中我们表明，尽管必须求解此类病态系统，平面波的明智选择能以数值稳定方式确保高精度解。平面波方法的数值精度不仅与逼近空间有关，也与平面波展开中系数的大小有关。我们表明，无论平面波的方向和数量如何，平面波的使用可导致指数级大的系数，并引起数值不稳定性。我们证明所有亥姆霍兹场都是倏逝平面波的连续叠加，即具有与指数衰减相关的复传播矢量的平面波，并表明这导致有界表示。我们提供了一种构造性方案来数值地选择一组实值和复值传播矢量。这导致了平面波的显式选择以及一种实现精度与稳定性的关联Trefftz方法。理论分析针对圆形二维域给出。但原理是一般的，我们在文末以一个数值实验展示了其对多边形域的实际适用性。
引用
@article{arxiv.2202.05658,
title = {Stable approximation of Helmholtz solutions in the disk by evanescent plane waves},
author = {Emile Parolin and Daan Huybrechs and Andrea Moiola},
journal= {arXiv preprint arXiv:2202.05658},
year = {2023}
}