球域中 Helmholtz 解的倏逝平面波逼近
数值分析
2023-05-04 v1 数值分析
摘要
arXiv:2202.05608 中给出的最新结果在通过平面波叠加实现 Helmholtz 解的稳定逼近方面取得了重大进展。该研究表明，只要存在以有界系数为展开形式的精确逼近，基于平面波的 Trefftz 方法固有的数值不稳定与病态性便可通过正则化技术有效克服。当目标解包含高傅里叶模式时，由于展开系数的指数增长，传播平面波无法给出稳定逼近。相反，模态内容覆盖高傅里叶区域的倏逝平面波能够提供准确且稳定的结果。所开发的数值方法通过依据概率密度函数对参数域采样来构造倏逝平面波逼近集，与传统的传播平面波格式相比带来了实质性改进。以下工作将这一研究推广至三维情形，证实了已有结果并引入了新的结果。通过将 3D JacobiAnger 恒等式推广到复值方向，我们证明了球内任意 Helmholtz 解均可表示为倏逝平面波的连续叠加。该表示推广了经典的 Herglotz 表示，并给出了仅用传播波无法获得的相关的稳定性结果。所提数值方案已针对三维情形量身定制，并借助涉及极值点系统的新采样策略进行了扩展。这些方法通过数值实验进行了测试，显示出如二维情形一致的期望精度与有界系数稳定性。
引用
@article{arxiv.2305.02175,
title = {Evanescent Plane Wave Approximation of Helmholtz Solutions in Spherical Domains},
author = {Nicola Galante},
journal= {arXiv preprint arXiv:2305.02175},
year = {2023}
}
备注
Master's thesis. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:2202.05658 by other authors