亥姆霍兹方程的Trefftz方法综述
数值分析
2023-10-11 v2
摘要
Trefftz方法是有限元类型的格式，其检验函数和试探函数为目标微分方程的（局部）解。它们在时谐波问题中尤为流行，因为其试探空间包含振荡基函数，并可能比经典的分段多项式空间获得更好的逼近性质。我们回顾了为亥姆霍兹方程发展的几种Trefftz变分公式的构造与性质，包括最小二乘、间断伽辽金、超弱变分公式、复射线变分理论和基于波的方法。用于该方程最常见的离散Trefftz空间采用广义调和多项式（柱面波和球面波）、平面波和倏逝波、基本解以及多极子作为基函数；我们描述了这些空间的理论与计算方面，特别关注其逼近性质。Trefftz方法中最有前景但尚待充分发展的特性之一是在基函数传播方向选择中使用自适应。实现中遇到的主要困难是线性系统的组装与病态，我们简要综述了已提出的应对这些问题的若干策略。
引用
@article{arxiv.1506.04521,
title = {A Survey of Trefftz Methods for the Helmholtz Equation},
author = {Ralf Hiptmair and Andrea Moiola and Ilaria Perugia},
journal= {arXiv preprint arXiv:1506.04521},
year = {2023}
}
备注
41 pages, 2 figures, to appear as a chapter in Springer Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Differences from v1: added a few sentences in Sections 2.1, 2.2.2 and 2.3.1; inserted small corrections