利用对称变量研究均匀磁场中二维库埃特流的稳定性阈值

我们考虑域 $\mathbb{T}\times\mathbb{R}$ 中的二维不可压缩导电流体。目标是量化当 $|\beta|>1/2$ 时，具有恒定均匀磁场 $(\beta,0)$ 的库埃特流 $(y,0)$ 的稳定性性质。重点在于小流体黏度 $\nu$、磁电阻率 $\mu$ 的 regime，并且我们假设磁普朗特数满足 $\mu^2\lesssim\mathrm{Pr}_{\mathrm{m}}=\nu/\mu\leq 1$。我们证明，只要该稳态附近的小扰动在 $H^N$（$N$ 足够大）中的大小为 $\varepsilon\ll\nu^{2/3}$ 量级，它们就保持接近该稳态。此外，涡量与电流密度经历 $\nu^{-1/3}$ 量级的瞬态增长，同时在 $\nu^{-1/3}$ 量级的时间尺度后指数快速收敛到与 $x$ 无关的状态。该增长由无黏机制驱动，而随后的指数衰减源于输运与扩散之间的相互作用，导致耗散增强。证明这些结果的一个关键论证是受非均匀流体研究启发，用对称变量重新表述系统，以有效刻画系统的动态行为。