三维 Oseen 涡旋在螺旋扰动下的稳定性

我们研究全空间 $\mathbb{R}^3$ 上不可压缩 Navier-Stokes 方程的螺旋对称无穷能量解的长时间行为。我们的解是 Lamb-Oseen 涡旋的 $H^1$ 扰动，其环量 Reynolds 数可以是任意固定的实数。如果 $v$ 表示螺旋速度扰动，无论初始时刻在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中多大，我们证明尺度不变量 $\|v(t)\|_{L^2}$ 和 $\sqrt{t} \|\nabla v(t)\|_{L^2}$ 当 $t \to +\infty$ 时收敛于零。这证明了 Oseen 涡旋关于 $H^1$ 螺旋扰动是全局稳定的。我们的分析依赖于扰动 $v$ 的对数能量估计、螺旋向量场的 Ladyzhenskaya 不等式，以及 Poincaré 不等式（该不等式蕴含沿对称轴均值为零的速度分量在时间上的指数衰减）。