周期 Toda 晶格在短程微扰下的稳定性

我们考虑了周期 Toda 晶格（以及更一般地，代数几何有限间隙晶格）在短程微扰下的稳定性。我们证明了受扰晶格渐近趋近于一个调制晶格。更确切地说，设 $g$ 为与未受扰解相关的超椭圆曲线的亏格。我们表明，除了在准周期背景上传播的孤子现象外，$n/t$-平面包含 $g+2$ 个区域，其中受扰解接近于同一等谱环面中的有限间隙解。在这些区域之间存在 $g+1$ 个区域，其中受扰解渐近接近于经历连续相变（在 Jacobian 簇中）并在这些等谱解之间进行插值的调制晶格。在自由晶格 ($g=0$) 的特殊情况下，等谱环面仅由一个点组成，我们恢复了已知结果。等谱环面中的解和相变均通过底层超椭圆曲线上的 Abelian 积分显式表征。我们的方法依赖于逆谱问题与定义在超椭圆曲线上的矩阵 Riemann--Hilbert 问题的等价性，并将所谓的 Riemann--Hilbert 问题形变的非线性稳相/最速下降法推广到了 Riemann 曲面。