多项式微分方程的稳定性：复杂性与逆 Lyapunov 问题
最优化与控制
2013-09-03 v1 计算复杂性
系统与控制
经典分析与常微分方程
动力系统
摘要
我们研究多项式微分方程，并对以下问题做出贡献：(i) 判定稳定性的复杂性，(ii) 多项式 Lyapunov 函数的存在性，以及 (iii) 平方和 (sos) Lyapunov 函数的存在性。(i) 我们表明，判定三次向量场的局部或全局渐近稳定性是强 NP 难的。我们证明的简单变体表明，其他几个判定问题也是强 NP 难的：平衡点的局部吸引性测试、Lyapunov 意义下的平衡点稳定性、单位球的不变性、轨迹的有界性、球内所有轨迹收敛到给定平衡点、二次 Lyapunov 函数的存在性、局部避障以及稳定控制律的存在性。(ii) 我们给出了一个简单且明确的例子：平面上一个全局渐近稳定的二次向量场，但不存在多项式 Lyapunov 函数（与 M. Krstic 合作完成）。对于齐次向量场子类，我们猜想渐近稳定性意味着多项式 Lyapunov 函数的存在性，但表明即使对于固定维度和次数的向量场，此类 Lyapunov 函数的最低次数也可以是任意大的。对于同一类向量场，我们进一步确立了多项式 Lyapunov 函数的次数不存在单调性。(iii) 我们通过一个明确的反例表明，如果固定多项式 Lyapunov 函数的次数，那么即使存在有效的 Lyapunov 函数，sos 规划也可能无法找到它。另一方面，如果允许次数增加，我们证明了对于平面或齐次向量场，多项式 Lyapunov 函数的存在性意味着存在一个为 sos 的多项式 Lyapunov 函数，且其导数的负值也是 sos。
引用
@article{arxiv.1308.6833,
title = {Stability of Polynomial Differential Equations: Complexity and Converse Lyapunov Questions},
author = {Amir Ali Ahmadi and Pablo A. Parrilo},
journal= {arXiv preprint arXiv:1308.6833},
year = {2013}
}
备注
30 pages. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:1112.0741, arXiv:1210.7420