有界区域上的指数稳定非线性系统具有多项式 Lyapunov 函数

本文证明了：对于有界集上足够光滑的非线性常微分方程，多项式 Lyapunov 函数的存在性是其指数稳定性的充要条件。主要结果表明，如果存在一个 $n$ 次连续可微的 Lyapunov 函数证明了 $R^n$ 有界子集上的指数稳定性，那么也存在一个多项式 Lyapunov 函数证明同一区域上的指数稳定性。例如，若微分方程的右端项是多项式或至少 $n$ 次连续可微，则此类连续 Lyapunov 函数将存在。证明基于 Weierstrass 逼近定理向多变量可微函数的推广。具体而言，我们展示了如何使用多项式在 Sobolev 范数 $W^{1,\infty}$ 下以任意精度逼近可微函数。我们将此逼近结果与二阶 Taylor 级数展开相结合，发现多项式 Lyapunov 函数可以在有界集上任意好地逼近连续 Lyapunov 函数。我们的研究动机源于利用多项式优化算法构造多项式 Lyapunov 函数。