对应于全局渐近稳定平衡点的 Lyapunov 函数的必要条件

众所周知，Lyapunov 函数的存在性是自治系统 $\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x})$ 平衡点稳定性、渐近稳定性或全局渐近稳定性的充分条件。在 Lyapunov 定理的各种变体中，Lyapunov 候选函数 $V$（连续可微且正定的函数）成为 Lyapunov 函数的条件是，其沿系统轨迹的时间导数必须为半负定或负定。数值上检验 $V$ 的正定性非常困难；而检验 $\dot{V}(\cdot)=\langle \nabla V(\cdot), f(\cdot) \rangle$ 的负定性则更为困难，因为它涉及系统的动力学。我们给出了一个独立于系统动力学的必要条件，该条件适用于对应于 $\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x})$ 全局渐近稳定平衡点的每一个 Lyapunov 函数。这一必要条件在数值上比检验函数的正定性更容易验证。因此，它可以作为一级测试，用于检验给定的连续可微函数是否为 Lyapunov 候选函数。我们还提出了一种称为广义最速下降法的方法来数值检验这一条件。广义最速下降法可用于排除对应于 $\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x})$ 全局渐近稳定平衡点的 Lyapunov 候选函数。它也可用作一种启发式方法，以检验函数的局部正定性，这是对应于自治系统稳定和/或渐近稳定平衡点的 Lyapunov 函数的必要条件。