判定三次齐次向量场渐近稳定性的困难性

众所周知，一次齐次多项式向量场（即线性系统）的渐近稳定性（AS）可在多项式时间内判定，例如通过寻找二次李雅普诺夫函数。由于偶数次齐次向量场永远不可能渐近稳定，下一个值得考虑的有趣次数是三。本文中，我们证明判定齐次三次向量场的渐近稳定性是强NP难的，并提出该问题是否可判定的疑问。作为确立我们NP难性结果的归约的副产品，我们获得了一种受李雅普诺夫启发的方法来证明形式的多项式正性。我们还证明，对于变量少至两个的渐近稳定齐次三次向量场，多项式李雅普诺夫函数的最小次数可以任意大。最后，我们证明证明渐近稳定性的多项式李雅普诺夫函数的次数不存在单调性；即，一个没有某次数$d$的齐次多项式李雅普诺夫函数的齐次三次向量场，完全可以有一个次数小于$d$的齐次多项式李雅普诺夫函数。