Helmholtz-Hodge 分解在某些向量场研究中的应用

在适当假设下，$\mathbb{R}^n$ 上的光滑向量场可分解为梯度向量场与无散度(螺线管)向量场之和。这称为 Helmholtz-Hodge 分解(HHD)，已被用于分析向量场的拓扑特征。本研究中，我们将 HHD 应用于某些类型向量场的研究。特别地，我们考察严格正交 HHD 的存在性，其可确保有效分析。研究的第一个对象是线性向量场。我们证明，对于形如 $\textbf{F}(\textbf{x}) = A \textbf{x}$ 的向量场，可通过求解代数 Riccati 方程获得严格正交 HHD。随后，建立了显式构造 Lyapunov 函数的方法。特别地，若 A 为正规矩阵，则该方程存在简易解。接下来，我们研究平面向量场。此时，HHD 给出复势，其为流体力学中同名概念的推广。我们通过分析由齐次二次多项式给出的向量场，展示了复势形式的便利性。