局部极小点及相关概念的计算复杂性

我们考虑多元多项式的（i）临界点、（ii）二阶点、（iii）局部极小点以及（iv）严格局部极小点等概念。对于每一类点，并作为多项式次数的函数，我们研究如下判定的复杂性：（1）给定点是否属于该类；（2）多项式是否具有该类点。我们的结果刻画了先前文献遗留的所有次数下这两个问题的复杂性。我们的主要贡献揭示，其中许多问题对三次多项式而言是可处理的。特别地，我们给出了一个可有效检验的必要充分条件，用于判定三次多项式中某点的局部极小性。我们还表明，三次多项式的局部极小点可通过求解规模随变量数线性增长的半定规划有效找到。相比之下，我们证明判定三次多项式是否具有临界点则是强 NP-困难的。我们还证明任意三次多项式的二阶点集合是一个谱面体（spectrahedron），反之任意谱面体都是某三次多项式二阶点集合的投影。在最后一节，我们简要给出了寻找三次多项式局部极小点在三阶牛顿法设计中的潜在应用。