非凸平方和优化中的虚假局部极小值
最优化与控制
2024-11-05 v1
摘要
我们研究了在实代数簇 上非凸低秩平方和优化公式中的虚假二阶驻点和局部极小值。我们将寻找虚假局部极小值的问题重新表述为底层线性系列的syzygies问题，并引入拓扑工具来研究该问题。当簇 为最小次数时，存在虚假二阶驻点当且仅当簇的维数和余维数均大于一，回答了Legat、Yuan和Parrilo提出的问题。此外，对于最小次数的曲面，我们给出了排除点为虚假局部极小值的充分条件。特别地，所有与无限Gram矩阵相关的、对应于三元四次型的Veronese曲面上的二阶驻点均位于边界上，且可写为二元四次型（至多差一个线性坐标变换），补充了Scheiderer关于三元四次型分解为三个平方和的工作。对于更高次数的通用簇，我们给出了内部虚假二阶驻点的例子和刻画，以及一种通过受控步长避免此类点的受限路径算法，并给出了数值实验结果，说明了在平面三次曲线和Veronese簇上的经验成功。
引用
@article{arxiv.2411.02208,
title = {Spurious local minima in nonconvex sum-of-squares optimization},
author = {Grigoriy Blekherman and Rainer Sinn and Mauricio Velasco and Shixuan Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2411.02208},
year = {2024}
}