约束非凸优化问题到二阶平稳点的收敛性

我们考虑寻找约束非凸优化问题的近似二阶平稳点的问题。我们首先表明，与无约束优化的梯度下降法不同，即使仅存在单个线性约束，朴素投影梯度下降算法也可能收敛到严格鞍点。然后我们通过证明即使在存在线性约束的情况下，检验$(\epsilon_g,\epsilon_H)$-二阶平稳性也是NP难的，给出了一个困难性结果。尽管有此困难性结果，我们仍识别出可以有效检验二阶平稳性的问题实例。对于此类实例，我们提出一种动态二阶Frank--Wolfe算法，该算法在${\mathcal{O}}(\max\{\epsilon_g^{-2}, \epsilon_H^{-3}\})$次迭代内收敛到（$\epsilon_g, \epsilon_H$）-二阶平稳点。所提算法可用于一般约束非凸优化，只要约束二次子问题可被高效求解。