低秩单变量平方和无伪局部极小值

我们研究通过将多项式 $p$ 分解为 $r$ 个平方和来最小化二次罚目标 $f_p(\mathbf{u}) = \left\lVert \sum_{i=1}^r u_i^2 - p\right\lVert^2$ 的问题。该目标非凸，且等价于编码平方和分解的半定规划(SDP)的秩-$r$ Burer-Monteiro 分解。我们证明对所有单变量多项式 $p$，若 $r \ge 2$ 则 $f_p(\mathbf{u})$ 无伪二阶临界点，表明所有局部最优也是全局最优。这与先前工作形成对比，先前工作表明对于一般 SDP，除通用性条件外，$r$ 须约为约束数(即 $p$ 的次数)的平方根才无伪二阶临界点。我们的证明使用计算代数几何工具，并可解释为利用一阶和二阶必要条件构造证书。我们还表明，通过选择基于圆上等间距点采样的范数，梯度 $\nabla f_p$ 可使用快速傅里叶变换在近乎线性时间内计算。我们通过实验证明，使用 L-BFGS 等一阶优化算法，该方法具有非常快的收敛速度，并对百万次多项式呈近线性扩展。