多项式层级的 LOCAL 视角

Fabian Reiter

多项式层级的 LOCAL 视角

分布式、并行与集群计算 2025-09-08 v4 计算复杂性形式语言与自动机理论计算机科学中的逻辑

作者: Fabian Reiter

摘要

我们将计算复杂度的经典方法扩展到分布式计算领域，在那里它们有时比在原始语境中更为有效。我们关注 LOCAL 模型中的决策问题，该设定中联网计算机使用同步消息传递来共同回答有关其网络拓扑的问题。我们对这一模型施加两个时间约束：通信轮数受常数限制，且每台计算机的计算步数在其本地输入与接收消息规模上呈多项式限制。通过让两名参与者交替为所有计算机分配证书，我们获得了多项式层级（以及因而复杂度类 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{NP}$ ）的分布式推广。随后我们将复杂度理论的关键结果扩展到该设定，包括 Cook-Levin 定理（其将布尔可满足性确定为 $\mathbf{NP}$ 的完全问题）与 Fagin 定理（其将 $\mathbf{NP}$ 刻画为可用存在二阶逻辑表达的问题类）。原始结果可作为网络仅由单台计算机组成的特例被恢复。但或许更令人惊讶的是，在分布式设定中分离复杂度类变得更容易：我们可以证明我们的层级是无穷的，而仅限单台计算机时其是否无穷仍臭名昭著地开放。（相比之下，我们层级的坍缩将意味着经典多项式层级的坍缩。）作为一个应用，我们提出将量词交替作为衡量分布式计算中问题局部性的新工具。

关键词

分布式计算 LOCAL 模型多项式层级计算复杂度 Cook-Levin 定理 Fagin 定理量词交替

引用

@article{arxiv.2305.09538,
  title  = {A LOCAL View of the Polynomial Hierarchy},
  author = {Fabian Reiter},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2305.09538},
  year   = {2025}
}

备注

77 pages, 18 figures (5 repeated); v4: Expanded discussion of alternation as a measure of locality, with additional expressibility and inexpressibility results

多项式层级的 LOCAL 视角

摘要

关键词

引用

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