Benjamin-Ono 方程多孤子的稳定性

本文研究 Benjamin-Ono (BO) 方程 $m$-孤子的动力学稳定性。这扩展了 Neves 和 Lopes [41] 的工作，后者仅限于 $m=2$ 的双孤子情况。通过构造合适的 Lyapunov 泛函，发现多孤子是满足合适的变分非局部椭圆方程的非孤立约束极小值。稳定性问题被归结为由 Hilbert 变换组成的高阶非局部算子的谱分析。此类算子是等惯性的，且其负特征值已被完全分类。我们在谱分析中的方法包括多孤子的不变性以及由 BO 方程的双 Hamilton 结构启发的新算子恒等式。由于 BO 方程更像是一个二维可积系统，其递归算子不是显式的，这使得我们的分析更加复杂。谱分析的关键要素是利用 BO 方程特征值问题平方特征函数在 $L^2$ 中的完备性。这里证明了在 $H^{\frac{1}{2}}$ 中孤子的轨道稳定性意味着所有 $m$-孤子在 $H^{\frac{m}{2}}$ 中是动力学稳定的。