Mirzakhani函数的平方可积性与双曲曲面上简单闭测地线的统计

给定满足 $2-2g-n < 0$ 的整数 $g,n \geq 0$，令 $\mathcal{M}_{g,n}$ 为亏格 $g$ 带 $n$ 个尖点的连通、有向、完备、有限面积双曲曲面的模空间。我们研究 Mirzakhani 函数 $B \colon \mathcal{M}_{g,n} \to \mathbf{R}_{\geq 0}$ 的整体性态，该函数将 $X \in \mathcal{M}_{g,n}$ 映为 $X$ 上双曲长度 $\leq 1$ 的带测度测地叶状层集合的 Thurston 测度。我们改进了 Mirzakhani 描述的该函数在 $\mathcal{M}_{g,n}$ 尖点附近性态的界，并推得 $B$ 关于 Weil-Petersson 体积形式是平方可积的。我们将关于 $B$ 的这一认识联系到简单闭双曲测地线的计数问题的统计。