关于一般几何随机变量在双曲面模空间上的积分

本文提供一种积分公式，使我们能够对定义在双曲面模空间上的随机变量进行积分，这些随机变量涉及属于固定任意映射类群轨道的闭包测地线的长度。该结果推广了Mirzakhani关于简单闭测地线的积分公式，以及我们前一篇论文中关于恰好有一个自相交点的测地线积分公式。我们随后计算了在Fenchel-Nielsen坐标中任意闭环长度函数的一般表达式。借助该表达式和我们的积分公式，我们证明了几何随机变量的积分可表示为对R上的积分，其中该积分相对于Lebesgue度量具有密度函数。通过研究该密度函数的渐近行为（在基本表面的固定 genus 和边界数的情况下），给定任意闭环 $\gamma$，我们获得了Mirzakhani关于当 a $\rightarrow$ $\infty$ 时，$\gamma$ 同一映射类群轨道上长度为不超过 a 的测地线数量的 Weil-Petersson 期望 E[N$\gamma$(a)] 的改进估计。这也推广了我们关于八字形测地线的结论。