不可定向双曲曲面上简单闭测地线增长的异常

Mirzakhani 的一项著名结果指出，若 $(S,m)$ 是一个有限面积的**可定向**双曲曲面，则 $(S,m)$ 上长度小于 $L$ 的简单闭测地线的数量渐近等价于一个正常数乘以 $L^{\dim\mathcal{ML}(S)}$，其中 $\mathcal{ML}(S)$ 表示 $S$ 上测度叶状结构的空间。我们在一些显式例子中观察到，该结果对**不可定向**双曲曲面不成立。本文旨在解释这一令人惊讶的现象。设 $(S,m)$ 是一个有限面积的**不可定向**双曲曲面。我们证明，具有闭合单侧叶的测度叶状结构集合具有奇特的结构。因此，映射类群在测度叶状结构射影空间上的作用不是极小的。我们确定了其轨道闭包的部分分类，并推导出 $(S,m)$ 上长度小于 $L$ 的简单闭测地线的数量与 $L^{\dim\mathcal{ML}(S)}$ 相比可以忽略不计。我们将此结果推广到一般多重曲线。然后我们聚焦于模空间的几何。我们证明其 Teichmüller 体积是无限的，且 Teichmüller 流不是遍历的。我们还考虑了 Norbury 引入的体积形式。我们证明它是 Weil–Petersson 体积形式的正确推广。关于此体积形式的模空间体积同样是无限的（如 Norbury 所示），但其单侧测地线长度至少为 $\varepsilon>0$ 的双曲曲面子集具有有限体积。这些结果表明，不可定向曲面的模空间看起来像一个无限体积的几何有限轨形。我们讨论了这种类比并提出了一些猜想。