随机性与 Armstrong-Vicol 被动标量

自发随机性指的是在奇异极限下，确定性系统中内在随机性的涌现，这一现象被认为是湍流中的基本现象。Armstrong 和 Vicol 最近构建了一个接近弱欧拉解的确定性、无散度的多尺度向量场，证明了由该向量场输送的被动标量在消失扩散极限下表现出异常耗散且缺乏选择原理。\textit{本工作旨在解释为何该被动标量同时表现出拉格朗日和欧拉ian自发随机性。}第一部分提供了自发随机性的历史概述，详细描述了 Armstrong-Vicol 被动标量模型，并给出异常扩散的数值证据，以及对拉格朗日流形图的细化描述。在第二部分，我们发展了欧拉ian自发随机性的理论框架。我们对其进行数学定义，链接到不适定性和有限时间轨迹分裂，并探讨其测度论性质及其与 RG 形式学的联系。这导致我们提出了一个在无粘性极限下的明确定义的\textit{测度选择原理}。这种方法使我们能够基于正则化的 ergodic 性质对普适性类别进行严格分类。为补充我们的分析，我们提供了简单而有洞察力的数值示例。最后，我们表明 Armstrong-Vicol 模型中缺乏选择原理对应于被动标量的欧拉ian自发随机性。我们还在无粘性极限下数值计算了有效再缩放扩散系数的概率密度。我们认为，选择原理的缺失应被理解为对无粘性系统弱解的测度选择原理。