Armstrong-Vicol 被动标量中的自发随机性

自发随机性是指在奇异极限下确定性系统中出现的内在随机性，这一现象被猜想为湍流的基础。Armstrong 和 Vicol 近期构造了一个确定性的、无散度的多尺度矢量场，该场任意接近于弱 Euler 解，证明了由该场输运的被动标量表现出反常耗散，且在扩散系数消失极限下缺乏选择原理。我们证明了该对流扩散 PDE 在无粘极限下的弱解空间中同样选择了一个非 Dirac 测度，从而表现出 Euler 自发随机性。我们进一步提供了 Lagrange 自发随机性的数值证据，并给出了该系统 Obukhov-Corrsin 猜想的数值说明。我们构建了一个在任意正则化下任意有限维系统中自发随机性的一般框架，区分了两种情形：弱情形，其中不同的概率测度可能沿着无粘极限的子序列出现；强情形，其中极限测度是唯一的。Armstrong 和 Vicol 的对流扩散系统属于强情形。我们证明了所选测度集合是紧的，并且等于 Dirac 测度的闭凸包。此外，对于任何支撑在无粘系统非唯一解集合上的非 Dirac 测度，都存在一种能产生强自发随机性的正则化。最后，我们将该框架与 Feigenbaum 式的重正化群方法联系起来，并考察了底层动力系统如何影响无粘极限。讨论辅以基本的有限维例子以说明各种情况。