大尺度二维速度场平流的被动标量的统计：解析解

我们描述了由随机二维不可压缩流体流动平流的被动标量在流动相关长度和扩散尺度之间的尺度范围内的稳态统计。这对应于所谓的Batchelor regime，其中速度被其大尺度梯度所替代。在局部共动参考系中标量的概率分布通过线拉伸速率的概率分布来表达。线拉伸的描述可以归结为一个经典的幺模随机矩阵乘积问题。我们找到了一个变量替换，使得可以将矩阵问题映射到标量问题，从而证明了拉伸速率统计的中心极限定理。该证明对速度场的任何有限相关时间均成立。无论速度场的统计如何，被动标量的统计（在空间上局部时间平均）被证明随着Peclet数$Pe$（泵入与扩散尺度之比）的增加而趋向高斯分布。前$n<\ln Pe$个同时关联函数通过标量平方的通量和仅一个依赖于速度场的因子来表达：平均拉伸速率，该速率在极限情况下可以解析计算。在有限$Pe$下，概率分布的非高斯尾部被发现是指数形式的。