半经典极限下量子KdV层级谱

我们采用半经典量子化来计算大中心荷 $c$ 极限下量子KdV荷的谱。经典地，KdV荷 $Q_{2n-1}$ 在 Virasoro 代数的余伴随轨道上生成完全可积动力学。它们可用作用量变量 $I_k$ 表示，例如作为幂级数展开。量子力学上，该级数变为 $1/c$ 中的展开，而作用量变量变为整数值量子数 $n_i$。关键在于，在 $I_k$ 中为齐次的经典表达式获得了包含 $n_k$ 次主导幂次项的量子修正。在 $1/c$ 展开的前两个非平凡阶，这些“量子”项可由作用于初态的 $Q_{2n-1}$ 解析形式固定。由此我们给出了 $Q_{2n-1}$ 谱在 $1/c$ 展开至前三阶的显式表达式。我们将此结果应用于研究 $Q_{2n-1}$ 的热期望值与KdV广义吉布斯系综的自由能。