半经典理论与 Koopman-van Hove 方程

相空间 Koopman-van Hove（KvH）方程可由偏微分方程的渐近半经典分析导出。半经典理论给出复相位因子的 Hamilton-Jacobi 方程和振幅的输运方程。这两个方桯可结合形成构型空间中 KvH 方程的非线性半经典版本。存在从构型空间解到相空间的自然嵌入，以及从相空间解到构型空间的自然投影。因此，构型空间 KvH 方程的每个解都满足半经典相空间 KvH 方程和 Hamilton-Jacobi 约束。对于构型空间解，该约束解决了相空间中存在两种不同守恒密度的悖论。对于可积系统，KvH 谱是经典谱与半经典谱的笛卡尔积。若消去经典谱，则在正确选择 Jeffreys-Wentzel-Kramers-Brillouin（JWKB）匹配条件时，半经典谱满足 Einstein-Brillouin-Keller 量子化条件，其中包含由 Maslov 指数引起的修正。然而，半经典分析对边界条件、连续性要求和定义域使用了不同选择。例如，复 JWKB 方法的使用允许通过相空间复化来处理隧穿。最后，尽管 KvH 波函数包含干涉效应的可能性，但当所有可观测量近似为相空间上的局部算符时，干涉不可观测。观测干涉效应需要考虑非局部操作，例如通过渐近理论中的更高阶项。