横截临界图定理的谱加强

图 $G$ 的一个横截集是与 $G$ 的所有边都关联的顶点集合。$G$ 的横截数记为 $\tau(G)$，是 $G$ 的横截集的最小基数。一个无孤立顶点的简单图 $G$ 若对每条边 $e\in E(G)$ 都有 $\tau(G-e) < \tau(G)$，则称为 $\tau$-临界图。对于任意满足 $\tau(G)=t$ 的 $\tau$-临界图 $G$，Erd\H{o}s 和 Gallai 已证明 $|V(G)|\le 2t$，Erd\H{o}s、Hajnal 和 Moon 已证明 $|E(G)|\le {t+1\choose 2}$。最近，Gy\'arf\'as 和 Lehel 将其推广为 $|V(G)| + |E(G)|\le {t+2\choose 2}$。本文中，我们通过谱证明了更强的结果。设 $G$ 是一个满足 $\tau(G)=t$ 且 $|V(G)|=n$ 的 $\tau$-临界图，$\lambda_1$ 表示 $G$ 的邻接矩阵的最大特征值。我们证明 $n + \lambda_1\le 2t+1$，等号成立当且仅当 $G$ 为 $tK_2$、$K_{s+1}\cup (t-s)K_2$ 或 $C_{2s-1}\cup (t-s)K_2$，其中 $2\leq s\leq t$；特别地，$\lambda_1(G)\le t$，等号成立当且仅当 $G$ 为 $K_{t+1}$。我们随后应用此结论证明：对任意非负整数 $r$，有 $n\left(r+ \frac{\lambda_1}{2}\right) \le {t+r+1\choose 2}$，并刻画了所有极图。这蕴含了一个纯组合结果 $r|V(G)| + |E(G)| \le {t+r+1\choose 2}$，它强于 Erd\H{o}s-Hajnal-Moon 定理和 Gy\'arf\'as-Lehel 定理。我们还有一些其他推广。