谱半径与大组件星型因子

设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点的连通图。若 $G$ 非完备，则孤立硬度 $I(G)$ 定义为 $I(G)=\min\left\{\frac{|S|}{i(G-S)}:S\subseteq V(G) \ \mbox{and} \ i(G-S)\geq2\right\}$；若 $G$ 为完备，则 $I(G)=+\infty$。若 $I(G)\geq r$，则称 $G$ 为孤立 $r$-硬。若 $G$ 的一个 Spanning 子图 $H$ 的每个连通分支均等同于 $\{K_{1,j}:m\leq j\leq2m\}$ 中的某个元素，则称 $H$ 为 $G$ 的 $\{K_{1,j}:m\leq j\leq2m\}$-因子。$\rho(G)$、$q(G)$ 与 $\mu(G)$ 分别表示邻接谱半径、无标志拉普拉斯谱半径与距离谱半径。设 $m$ 与 $b$ 为满足 $m\geq2$ 的两个正整数。本文首先建立了连通孤立 $\frac{mb-1}{b}$-硬图 $G$ 的邻接谱半径下界，以保证 $G$ 包含 $\{K_{1,j}:m\leq j\leq2m\}$-因子。随后，我们建立了连通孤立 $\frac{mb-1}{b}$-硬图 $G$ 的无标志拉普拉斯谱半径下界，以确保 $G$ 包含 $\{K_{1,j}:m\leq j\leq2m\}$-因子。最后，我们给出连通孤立 $\frac{mb-1}{b}$-硬图 $G$ 具有 $\{K_{1,j}:m\leq j\leq2m\}$-因子的距离谱半径上界。此外，我们构造了一些极端图来证明本文获得的所有界限均为尖锐的。