图的广义韧度与 Q-指标

设 $G$ 为一个图。我们分别用 $c(G)$、$\alpha(G)$ 和 $q(G)$ 表示 $G$ 的连通分量数、独立数以及无符号拉普拉斯谱半径(简称 $Q$-指标)。图 $G$ 的韧度定义为:当 $G\neq K_n$ 时,$t(G)=\min\left\{\frac{|S|}{c(G-S)}:S\subseteq V(G), c(G-S)\geq2\right\}$;当 $G=K_n$ 时,$t(G)=+\infty$。Chen、Gu 与 Lin [Generalized toughness and spectral radius of graphs, Discrete Math. 349 (2026) 114776] 推广了这一概念,将图 $G$ 的 $l$-韧度 $t_l(G)$ 定义为:若 $2\leq l\leq\alpha(G)$,则 $t_l(G)=\min\left\{\frac{|S|}{c(G-S)}:S\subset V(G), c(G-S)\geq l\right\}$;若 $l>\alpha(G)$,则 $t_l(G)=+\infty$。若 $t_l(G)\geq t$,则称 $G$ 是 $(t,l)$-韧的。本文分别给出了图成为 $(b,l)$-韧和 $(\frac{1}{b},l)$-韧的 $Q$-指标条件。