Brouwer 韧性猜想的一个证明

连通图 $G$ 的韧性定义为 $t(G)=\min\{\frac{|S|}{c(G-S)}\}$，其中最小值取遍所有满足 $c(G-S)>1$ 的真子集 $S\subset V(G)$，$c(G-S)$ 表示 $G-S$ 的连通分支数。令 $\lambda$ 表示图的邻接矩阵的第二大绝对本征值。对于任意连通 $d$-正则图 $G$，Alon 已证明 $t(G)>\frac{1}{3}(\frac{d^2}{d\lambda+\lambda^2}-1)$，借此 Alon 得以证明对每个 $t$ 和 $g$ 都存在围长严格大于 $g$ 的 $t$-韧性图，从而以强形式反驳了 Chvátal 关于泛圈性的猜想。Brouwer 独立地发现了对于任意连通 $d$-正则图 $G$ 的更优界 $t(G)>\frac{d}{\lambda}-2$，同时他猜想下界可改进为 $t(G)\ge \frac{d}{\lambda} - 1$。我们证实了该猜想。