Kneser 图的韧性

图 $G$ 的韧性 $t(G)$ 是其连通性的一种度量,与哈密顿性密切相关。Brouwer 证明了任意连通 $\ell$-正则图的韧性下界 $t(G) > \ell / \lambda - 2$,其中 $\lambda$ 是邻接矩阵的最大非平凡特征值。他猜想该下界可改进为 $\ell / \lambda-1$,此猜想至今未决。Brouwer 还观察到许多图族(特别是那些在独立数的 Hoffman 比界中取等号的图)的韧性恰为 $\ell / \lambda$。Cioab\u{a} 和 Wong 证实了 Brouwer 对若干图族的观察,包括 Kneser 图 $K(n,2)$ 及其补图,但 Petersen 图 $K(5,2)$ 除外。本文推广了这些结果,确定了当 $k\in \{3,4\}$ 且 $n\geq 2k+1$ 时以及当 $k\geq 5$ 且 $n$ 充分大(关于 $k$ 而言)时 Kneser 图 $K(n,k)$ 的韧性。在所有这些情形中,韧性由一个最大独立集的补集达到,我们猜想对任意 $k\geq 5$ 且 $n\geq 2k+1$ 也是如此。