正则图的谱与坚韧度

1995 年，Brouwer 证明了连通 $k$-正则图 $G$ 的坚韧度至少为 $k/\lambda-2$，其中 $\lambda$ 是 $G$ 的非平凡特征值的最大绝对值。Brouwer 猜想该下界可改进为 $k/\lambda-1$，且许多图（特别是那些在独立数的 Hoffman 比率界中达到等式的图）的坚韧度等于 $k/\lambda$。本文在坚韧度较小时改进了 Brouwer 的谱界，并确定了许多在 Hoffman 比率界中达到等式的强正则图的坚韧度精确值，例如格图、三角图、三角图的补图以及广义四元形的点图的补图。除 Petersen 图外，对于所有这些图，我们通过证明其坚韧度等于 $k/(-\lambda_{min})$（其中 $\lambda_{min}$ 是图邻接矩阵的最小特征值）证实了 Brouwer 的直觉。