给定度序列的树的谱矩

设 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ 为图 $G$ 的特征值。对于任意 $k\geq 0$，$G$ 的第 $k$ 个谱矩定义为 $\M_k(G)=\lambda_1^k+\dots+\lambda_n^k$。我们利用 $\M_k(G)$ 也是 $G$ 中长度为 $k$ 的闭途径数量这一事实，证明在度序列为 $D$ 或被 $D$ 优超的树 $T$ 中，$\M_k(T)$ 在任意 $k\geq 0$ 时均由具有度序列 $D$ 的贪婪树最大化（该树通过将 $D$ 中的最高度分配给根，次高、第三高……度分配给根的邻居，依此类推而构造）。由此得出若干推论，特别是 Ili\'c 和 Stevanovi\'c 关于给定最大度树的猜想，进而蕴含了 Gutman、Furtula、Markovi\'c 和 Gli\v{s}i\'c 关于此类树的 Estrada 指数的猜想，该指数定义为 $\EE(G)=e^{\lambda_1}+\dots+e^{\lambda_n}$。