关于具有给定二部划分的树的谱矩

对于两个给定的正整数 $p$ 和 $q$ 且 $p\leqslant q$，记 $\mathscr{T}_n^{p, q}=\{T: T$ 是阶为 $n$ 且具有 $(p, q)$-二部划分的树$\}$。对于一个具有 $n$ 个顶点的图 $G$，设 $A(G)$ 为其邻接矩阵，其特征值为 $\lambda_1(G), \lambda_2(G), ..., \lambda_n(G)$ 并按非增序排列。数 $S_k(G):=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i^k(G)\,(k=0, 1, ..., n-1)$ 称为 $G$ 的第 $k$ 个谱矩。设 $S(G)=(S_0(G), S_1(G),..., S_{n-1}(G))$ 为 $G$ 的谱矩序列。对于两个图 $G_1$ 和 $G_2$，若存在某个 $k\in \{1,2,...,n-1\}$ 使得 $S_i(G_1)=S_i(G_2) (i=0,1,...,k-1)$ 且 $S_k(G_1)<S_k(G_2)$ 成立，则称 $G_1\prec_s G_2$。本文刻画了 $\mathscr{T}_n^{p, q} (4\leqslant p\leqslant q)$ 中按 $S$-序排列的最后四棵树。