具有随机重置的分数布朗运动的谱内容

我们分析了分数布朗运动（fBm）（其 Hurst 指数 $H \in (0,1)$ 任意）在以恒定速率 $r$ 随机重置到原点的过程中的功率谱密度（PSD）$S_T(f)$（其中 $T$ 为观测时间，$f$ 为频率）——该重置过程在早些时候作为一种高效、可优化的搜索算法例子被提出。为此，我们首先推导了任意（不一定是 fBm）具有重置过程的协方差函数的精确表达式，通过无重置的母过程的协方差函数表示它，并在特例中给出 fBm 的所需结果。然后我们利用该结果精确计算了所有频率 $f$ 下 fBm 的功率谱密度。PSD 的渐近大频率 $f$ 行为对于亚扩散（$H < 1/2$）和超扩散（$H > 1/2$）fBm 明显不同。我们证明对于大 $f$，PSD 具有幂律尾部：$S_T(f) \sim 1/f^{\gamma}$，其中指数 $\gamma= 2H+1$（当 $0<H\le 1/2$，亚扩散 fBm），而 $\gamma= 2$（当所有 $1/2\le H<1$）。因此，有些出乎意料地，超扩散情形 $H>1/2$ 中的指数 $\gamma=2$ 保持其布朗值而不依赖于 $H$。