由分数布朗运动控制的随机过程的幂变差与极限定理

本文建立了由赫斯特参数 $H\leq 1/2$ 的分数布朗运动控制的随机过程的幂变差的极限定理。我们证明了此类过程的幂变差可分解为若干加权随机和与一个余项的和，且幂变差的收敛性由这些加权和的不同组合主导，具体取决于 $H<1/4$、$H=1/4$ 或 $H>1/4$。我们证明了当 $H\geq 1/4$ 时，中心化幂变差以 $n^{-1/2}$ 的速率稳定收敛，而当 $H<1/4$ 时它以 $n^{-2H}$ 的速率依概率收敛。基于 \cite{LT20} 中发展的粗糙路径方法，我们确定了混合加权和的极限。