单条布朗轨迹的功率谱密度：从中能及不能获知什么

任意时间依赖随机过程 $X_t$ 的功率谱密度（PSD）是其谱内容的一个有意义特征。在教科书定义中，PSD 是 $X_t$ 协方差函数在无穷大观测时间 $T$ 上的傅里叶变换，即它被定义为在 $T \to \infty$ 极限下取的系综平均性质。一个合理的问题是：若超越标准定义，分析在有限观测时间 $T$ 记录的单条轨迹的 PSD，从单轨迹实验中能可靠获得关于 PSD 的什么信息。为寻求此答案，对于 $d$ 维布朗运动，我们计算了任意频率 $f$、有限观测时间 $T$ 以及轨迹在不同轴上任意投影数 $k$ 下的单轨迹 PSD 的概率密度函数。我们解析地证明，布朗运动轨迹系综所特有的 PSD 频率依赖的标度指数已可从单条轨迹获得，而系综平均与单轨迹 PSD 关系中的数值振幅则是一个随实现而起伏的涨落性质。我们精确计算了此振幅的分布并详细讨论。我们的结果通过数值模拟与单粒子追踪实验得到证实，吻合极好。此外我们考虑了布朗运动的截断 Wiener 表示，以及离散时间格点随机游走的情形。我们强调了单轨迹 PSD 在布朗运动与后两种情形中行为的某些差异。本文发展的框架将允许对实验随机轨迹进行有意义的物理分析。