一类自伴差分方程的谱分析

在本文中，我们考虑形式为 -Δ(a_{n-1}Δy_{n-1})+b_{n}y_{n}=λy_{n}, n=0,1,... 的自伴差分方程，其中对所有 n≥0 有 a_{n-1}>0，b_{n} 为实数，λ 为复数。在 a_{n-1} 满足特定增长条件且为极限点型（即相关的 Hamburger 矩问题是确定的）的假设下，我们证明方程存在指数有界解意味着 λ 到相关自伴算子谱的距离有一个界，并且如果方程的一个解对于充分大的 n 被 n 的幂次所界定，则 λ∈σ(B)。这里，B 是由该方程生成的某个自伴算子。这些结果是 Shnol' 关于微分算子结果的差分方程版本。我们随后利用这一点证明，相关正交多项式的谱包含那些我们能找到多项式有界解的 λ 的集合的闭包。我们进一步猜想，在本文的假设条件下，谱恰好就是该存在多项式有界解的 λ 集合的闭包。我们还给出了一个关于本质谱在系数弱扰动下不变性的结果。