具有 Sigmoid 类型非线性的 Hammerstein 方程的空间局部化解

我们研究具有 Sigmoid 类型非线性的参数化 Hammerstein 算子 $\cH_\beta,$ $\beta\in (0,\infty]$ 不动点的存在性。参数 $\beta<\infty$ 表示非线性光滑 Sigmoid 函数的斜率陡度，而极限情况 $\beta=\infty$ 对应于不连续的单位阶跃函数。我们证明，对于较大的 $\beta$，该不动点问题的空间局部化解存在，并且可以由 $\cH_\infty$ 的不动点来近似。这些结果在生物学应用中具有重要意义，因为在生物学中常常用不连续的单位阶跃函数来近似光滑的 Sigmoid。此外，为了获得比极限问题解更好的近似效果，我们采用了一种迭代方法，该方法相比其他现有方法具有多项优势。例如，该方法可用于构造 Hamilton 方程系统的非孤立同宿轨道。我们通过 FitzHugh-Nagumo 反应扩散方程和神经场模型的静态版本，展示了该数值方法的结果与优势。