$\mathcal{A}_g$ 中 Torelli 轨迹与 Newton 层的一些不可能相交

设 $p$ 为一个奇素数。特征 $p$ 下曲线的可能 Newton 多边形有哪些？等价地，$\mathcal{A}_g$ 中哪些 Newton 层与 Torelli 轨迹相交？在本注记中，我们研究具有 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-作用的某些曲线的 Newton 多边形。这些曲线中有许多在 $\mathcal{A}_g$ 中表现出 Torelli 轨迹与 Newton 分层之间的不可能相交。以下是一个特别有趣的例子：固定一个亏格 $g$。我们证明对任意满足 $\frac{2g}{3}-\frac{2p(p-1)}{3}\geq 2k(p-1)$ 的 $k$，存在一条亏格为 $g$ 的曲线，其 Newton 多边形的斜率为 $\{0,1\}^{g-k(p-1)} \sqcup \{\frac{1}{2}\}^{2k(p-1)}$。这为 Oort 猜想（两条曲线的 Newton 多边形的合并仍是一条曲线的 Newton 多边形）提供了证据。我们还构造了曲线族 $\{C_g\}_{g \geq 1}$，其中 $C_g$ 是亏格为 $g$ 的曲线，其 Newton 多边形具有有趣的渐近性质。例如，我们构造了一个曲线族，其 Newton 多边形渐近地被图形 $y=\frac{x^2}{4g}$ 从下方界定。证明使用了作者关于曲线的 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-覆盖的 Newton-over-Hodge 结果，以及 Booher-Pries 近期关于该 Hodge 界可实现性的工作。