给定 $p$-秩曲线的通用 Newton 多边形

我们综述了关于正特征 $p$ 下曲线 Jacobian 的 $p$-秩和 Newton 多边形的结果与开放问题。我们证明了关于（超椭圆）曲线模空间的 $p$-秩分层的若干几何结果。例如，若 $0 \leq f \leq g-1$，我们证明 ${\mathcal M}_g$ 中 $p$-秩为 $f+1$ 的分层的每个分支在其闭包中都包含一个 $p$-秩为 $f$ 的分层分支。我们证明了 $\overline{\mathcal M}_g$ 中 $p$-秩 $f$ 的分层是连通的。对于所有素数 $p$ 和所有 $g \geq 4$，我们展示了存在定义在 $\overline{\mathbb F}_p$ 上的光滑曲线的 Jacobian，其 Newton 多边形的斜率为 $\{0, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, 1\}$。我们包含了关于给定亏格 $g$ 和 $p$-秩 $f$ 的曲线的通用 Newton 多边形的部分结果。