正特征下单项序的一些有限性结果

本工作受论文 [EG85] 和 [Ngu15] 的启发，这两篇论文解决了以下两个问题。设 $\mathcal{O}$ 是一个有限生成的 $\mathbb{Z}$-代数，且是特征为零的整闭整环，考虑以下问题：(A) 固定一个在 $\mathcal{O}$ 上整的 $s$，描述所有满足 $\mathcal{O}[s]=\mathcal{O}[t]$ 的 $t$。(B) 固定在 $\mathcal{O}$ 上整的 $s$ 和 $t$，描述所有满足 $\mathcal{O}[s^m]=\mathcal{O}[t^n]$ 的对 $(m,n)\in\mathbb{N}^2$。在本文中，我们解决了这些问题，并在 $\mathcal{O}$ 具有特征 $p>0$ 时，为与问题 (A) 密切相关的某一“判别式形式方程”提供了一个一致界限。尽管我们的总体策略大致遵循 [EG85] 和 [Ngu15]，但由于 Frobenius 自同构 $x\mapsto x^p$ 的存在，出现了许多新的精细问题。正特征域上单位方程的最新进展以及特征零的经典结果在本文中发挥了重要作用。