关于有限生成域上整元素模的研究

本文受 Jason P. Bell 和 Kevin G. Hare 在论文“On $\mathbb{Z}$-modules of algebraic integers”（Canad. J. Math. Vol. 61, 2009）中的结果与问题的启发。设 $\mathcal{O}$ 为一个有限生成 $\mathbb{Z}$-代数，且是特征零的整闭域。我们研究以下两个问题：(A) 固定在 $\mathcal{O}$ 上为整的 $q$ 和 $r$，描述所有满足 $\mathcal{O}[q^m]=\mathcal{O}[r^n]$ 的对 $(m,n)\in\mathbb{N}^2$。(B) 固定在 $\mathcal{O}$ 上为整的 $r$，描述所有满足 $\mathcal{O}[q]=\mathcal{O}[r]$ 的 $q$。在本文中，我们解决了问题 (A)，给出了 Evertse 和 Győry 对问题 (B) 的解答，并解释了它们与 Bell 和 Hare 论文的关联。在下文中，$c_1$ 和 $c_2$ 是可有效计算的常数，且对 $\mathcal{O}$、$q$ 和 $r$ 的依赖极弱。对于 (B)，Evertse 和 Győry 证明了存在 $N\leq c_2$ 个元素 $s_1,\ldots,s_N$，使得对每个 $i$ 都有 $\mathcal{O}[s_i]=\mathcal{O}[r]$，并且对每个满足 $\mathcal{O}[q]=\mathcal{O}[r]$ 的 $q$，存在某个 $1\leq i\leq N$ 和 $u\in\mathcal{O}^*$ 使得 $q-us_i\in\mathcal{O}$。这直接回答了 Bell 和 Hare 在同文中关于 Pisot 数的两个问题。对于 (A)，我们证明，除了一些可显式描述的“退化”情形外，这样的对 $(m,n)$ 至多有 $c_1$ 个。这显著加强了同文中的一些结果。我们在文末还对有效性作了若干注记，并讨论了进一步的问题。