与随机流相关的 SPDE 的解

我们考虑与随机流 $\{X(t,x)\}$ 相关联的如下随机偏微分方程，\begin{align*} &dY_t=L^\ast Y_tdt+A^\ast Y_t\cdot dB_t\\ &Y_0=\psi, \end{align*} 其中 $t \geq 0$，$x \in \mathbb{R}^d$，如 [Rajeev & Thangavelu, \emph{{Probabilistic representations of solutions of the forward equations}}, Potential Anal. \textbf{28} (2008), no.~2, 139--162] 中所示。我们证明那里构造的强解是“局部紧支撑的”。利用这一概念，我们定义了上述方程的温和解，并证明了在多希尔伯特空间 $\mathcal{S}^\prime$ 中强解与温和解的等价性。我们证明了在 $\psi$ 光滑的情况下解的唯一性，其依据是 $(L^\ast,A^\ast)$ 的“单调不等式”，这是一个已知的唯一性判据。