一类具有随机无界漂移项的一维 SDE 的强解

本文关注如下一维前向随机微分方程 (SDE) $$d X_{t}=b(t,X_{t},\omega)d t +\sigma d B_{t},\quad 0\leq t\leq T,\quad X_{0}=\,x\in \mathbb{R},$$ 其中驱动噪声 $B_{t}$ 为 $d$ 维 Brownian 运动。漂移项系数 $b:[0,T] \times\Omega\times \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ 为 Borel 可测，并可分解为确定性与随机性两部分，即 $b(t,x,\omega) = b_1(t,x) + b_2(t,x,\omega)$。假设 $b_1$ 具有空间线性增长、$b_2$ 满足若干可积条件，我们得到强解的存在唯一性。所用方法纯属概率性，并依赖于 Malliavin 微积分。作为推论，我们得到解的可 Malliavin 微性，给出 Malliavin 导数的显式表示，并证明加权 Sobolev 可微流的存在性。